求多项式(x-1)^100·(x-3)^50被(x-2)^2除所得的余式

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/22 22:31:38

(x-1)^100·(x-3)^50
=(x-1)^50·(x-3)^50·(x-1)^50
=[(x-1)·(x-3)]^50·(x-1)^50
=[(x-2)^2)-1]^50·(x-1)^50
=[(x-2)^2)-1]^50·[(x-2)+1]^50
而[(x-2)^2)-1]^50 可写成P(x-2)^2+1的形式
而[(x-2)+1]^50可写成C(x-2)^2+50(x-2)+1的形式
(其中P和C均为整式)
故(x-1)^100·(x-3)^50
=[P(x-2)^2+1]· [C(x-2)^2+50(x-2)+1]
=(x-2)^2·P[C(x-2)^2+50(x-2)+1]+C(x-2)^2+[50(x-2)+1]
=(x-2)^2·{P[C(x-2)^2+50(x-2)+1]+C}+50(x-2)+1

因此所得余式为50(x-2)+1

令y=x-2,则
(x-1)^100·(x-3)^50
=(y+1)^100·(y-1)^50
=(y^2-1)^50·(y+1)^50
它的一次项和常数项为50y+1,也就是被y^2除所得的余式
所以，余式为50(x-2)+1=50x-99